Question

【題目】已知函數f（x）= +x．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數f（x）在區間（1，+∞）上為增函數；
（3）求函數f（x）在區間[1，3]的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知函數f（x）= +x則函數f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）

函數為奇函數

理由：對任意的x∈{x|x≠0，都有 ，故函數f（x）為定義域上的奇函數

（2）證明：對區間（1，+∞）上的任意兩個數x1、x2，且x1＜x2，則 ．

由于x1、x2∈（1，+∞）且x1＜x2，則x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0．

從而f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），

因此函數f（x）在區間（1，+∞）上為增函數

（3）解：有（2）知，函數f（x）在區間[1，3]上為增函數，故fmin（x）=f（1）=2，
【解析】（1）（2）分別利用函數的奇偶性定義和單調性定義進行判斷證明；（3）利用（2）的結論，得到函數區間上的單調性，進一步求得最值．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．