Question

【題目】已知函數f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然對數的底數，a∈R.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當a<1時，試確定函數g(x)＝f(x－a)－x2的零點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)單調遞減區間為(－∞，－a－1)，單調遞增區間為(－a－1，＋∞)．(2)見解析

【解析】試題分析：（1）對函數求導，研究導函數的正負，根據到函數的正負得到原函數的單調性；（2）將函數g(x)＝f(x－a)－x2的零點個數問題轉化為該函數和x軸的交點個數問題，研究這個函數的單調性和圖像，找到它和軸的交點個數。

解析：

(1)因為f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝－a－1.

當x變化時，f(x)和f′(x)的變化情況如下：

x	(－∞，－a－1)	－a－1	(－a－1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

故f(x)的單調遞減區間為(－∞，－a－1)，單調遞增區間為(－a－1，＋∞)．

(2)結論：函數g(x)有且僅有一個零點．

理由如下：

由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，

顯然x＝0為此方程的一個實數解，

所以x＝0是函數g(x)的一個零點．

當x≠0時，方程可化簡為ex－a＝x.

設函數F(x)＝ex－a－x，則F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.

當x變化時，F(x)和F′(x)的變化情況如下：

x	(－∞，a)	a	(a，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	?	極小值	?

即F(x)的單調遞增區間為(a，＋∞)，單調遞減區間為(－∞，a)．

所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因為a<1，

所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0，

所以對于任意x∈R，F(x)>0，

因此方程ex－a＝x無實數解．

所以當x≠0時，函數g(x)不存在零點．

綜上，函數g(x)有且僅有一個零點．