Question

【題目】已知函數在處的切線的斜率為1.

（1）如果常數，求函數在區間上的最大值；

（2）對于，如果方程在上有且只有一個解，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得，得到，進而可得導函數零點，分析導函數符號變化規律可得函數單調性，最后根據k與e大小關系討論單調性，進而確定最大值（2）變量分離得，利用導數研究圖像，根據數形結合可得時有且只有一個解，即得的值

試題解析：解：（1）由得，因為，所以，從而．

所以，令得．所以當時， ，函數單調遞增；當時， ，函數單調遞減．

因此如果，則函數的最大值為；

如果，則函數的最大值為．

（2）因為 ，令，則方程在上有且只有一個解等價于函數在上有且只有一個零點．

因為，令，則（舍去），，所以當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增．

因此在時取到最小值，由題意知，從而有，又，所以，因為，

所以，令，則當時單調遞增，且，所以，由此可得．

（解法二）由得

設，則 ，由于單調遞減且，所以時單調遞增， 時單調遞減

方程在上有且只有一個解等價于。故．