Question

【題目】圓周上有個白點,先將其中一個染為黑色(稱為第一次染色),對任何正整數,第次染色后按逆時針方向間隔個點將下個點染成與原來顏色相反的顏色(稱為第次染色).

(1)對給定正整數,是否存在正整數,使次染色后個點均為白色？

(2)對給定正整數,是否存在正整數,使次染色后個點均為黑色？

Answer 1

【答案】(1)存在(2) 不存在

【解析】

設個點按逆時針方向編號為1,2,…,.對固定的,記第次染色的點的編號為,稱為染色數列.

不妨設.則

注意到,染色數列是二階等差數列,即,其中編號在模意義下.

(1)顯然,第次染色后個點均為白色,等價于染色數列的前項中每個數出現的次數均為偶數.分別考慮的情形,各染色數列如下表:

n											最小次數
2	1										2
3	1	3									4
4	1	3									6
5	1	3									8
6	1	3									10

由此猜想, 個點時,經過次染色,全變成白色.

下面通過配對的方法證明：在前次染色中,第次與第次染同一個點,從而,每個點均被染偶數次(包括0次),均變為白色.

事實上,

(2)對任何正整數,均不存在正整數,使次染色后全部變黑.

首先, ,即染色數列(關于模)是以為周期的周期數列,且 (即第次與第次染色的是同個點).

事實上,.

考慮前次染色中染色的總次數,發現至少有一個點未染色.

由(1),知第次與第次染色的是同一個點,于是,在前次染色中,被染過色的點均至少染過兩次顏色從而,至多有個點被染過顏色,即至少有個點從未被染過色,故前次染色中不可能出現全黑的情形.

而第次染色后全白,故,第次染色后只有一個黑子.又,第次染色后全白,于是,前次染色中不可能出現全黑的情形.

由周期性,任何時候均不可能出現全黑的情形.