Question

已知數列{a_n}為首項為1的等差數列，其公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

anan+1

，數列{b_n}的前n項和S_n，求S₂₀₁₃．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，利用等差數列的通項公式和等比數列的性質能推導出（1+d）²=1×（1+4d），由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由a_n=2n-1，得到bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能求出S₂₀₁₃．

解答：解：（1）∵數列{a_n}為首項為1的等差數列，其公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數列，
∴（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2，或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S₂₀₁₃=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4025

-

1

4027

）=

2013

4027

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要熟練掌握等差數列、等比數列的性質，注意裂項求和法的合理運用．