Question

【題目】在平面直角坐標系中，點的坐標為，拋物線的方程為，過作動直線交拋物線于兩點，設線段的中點為.

（1）若與重合，求直線的方程；

（2）求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2)

【解析】

（1）由已知利用“點差法”求得直線斜率，代入直線方程點斜式得答案；
（2）當直線斜率不存在時，求得的坐標，可得的斜率，當直線的斜率存在時，設出直線方程，與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系求得的坐標，可得所在直線斜率，然后利用基本不等式求最值．

(1)設，如圖

與重合，即為中點.則,

則有,

兩式相減得,

即

所以直線的方程為：，即.

(2)當直線 軸時， ，的斜率為0;

當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為

聯立，得.

則，.

所以

所以

當時,

由當且僅當時取等號.

所以此時,

當時,

同理可得此時

所以直線的斜率的取值范圍是.