Question

【題目】已知橢圓：的離心率，且過焦點的最短弦長為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線與曲線交于不同的兩點、，求的內切圓半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用離心率，過焦點最短的弦為通徑以及解方程組即可求解.

（2）根據橢圓的定義設的內切圓的半徑最大轉化為最大，，由題意知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理代入面積式轉化為關于的表達式，借助函數的單調性即可求解.

（1）由題意可得，解得，，．

故橢圓的標準方程為．

（2）設，，設的內切圓的半徑為，

因為的周長為，，

因此最大，就最大．

，

由題意知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

所以，．

又因直線與橢圓交于不同的兩點，故，

即，，

則．

令，則，

，

令，

由函數的性質可知，函數在上是單調遞增函數，

即當時，在上單調遞增，因此有，所以，

即當，時，最大，此時，

故當直線的方程為時，內切圓半徑的最大值為．