Question

【題目】已知函數

（1）若，求函數的表達式；

（2）在（1）的條件下，設函數，若上是單調函數，求實數的取值范圍；

（3）是否存在使得函數在上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或。

【解析】

試題分析：（1），所以，此時函數；（2）在（1）的條件下，函數為二次函數，對稱軸為，若函數在區間上是單調函數，則應滿足或，解得：或；（3）函數的對稱軸方程為，分和兩種情況進行討論，當時，開口向上，對稱軸，此時函數在區間上的最大值應在時取得，即，解得：與矛盾，當時，開口向下，此時函數最大值應在或或處取得，經驗證，在及處取得最大值均不符合題意，若在處取得最大值，則，整理得，所以或，此時對稱軸分別為和，均符合題意。

試題解析：（1）∵ 解得

∴

（2）由（1）可得

其對稱軸方程為

若在上為增函數，則，解得

若在上為減函數，則，解得

綜上可知，的取值范圍為或

（3）假設存在滿足條件的，則的最大值只可能在處取得，

其中

若，則有 得的值不存在，舍去

若，則有，解得

而時，對稱軸，

則最大值應在處取得，與條件矛盾，舍去

若，則，且，

化簡得，解得或 …（13分）

綜上可知，當或時，函數在上的最大值是4.