Question

【題目】如圖，一張矩形白紙，，，，分別為，的中點，現分別將，沿，DF折起，且、在平面同側，下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的序號）

①平面平面時，

②當平面平面時，平面

③當、重合于點時，

④當、重合于點時，三棱錐的外接球的半徑為

Answer 1

【答案】②

【解析】

分別作出平面平面時，、重合于點時幾何體圖形，根據線面位置關系和長度關系證明判定，利用補圖法求外接球的半徑．

由題：矩形中，，，，分別為，的中點，

，

所以，同理可得，，

，

中，，所以，

由余弦定理，

當平面平面時，如圖：

所以在折疊后的圖形中，，

可得平面，平面，由于，

平面與平面都經過，則平面與平面重合，

所以四邊形為平行四邊形，，平面，平面

所以平面，所以②正確；

假設，則四邊形為平行四邊形，可得與矛盾，所以①矛盾；

當、重合于點時，如圖：

由題可得：，，

，所以不可能，所以③錯誤；

三棱錐中，，

所以為直角三角形，，

，所以為直角三角形，

為直角三角形，

由補圖法可知三棱錐的與以為長寬高的長方體外接球相同，

其直徑為，

所以外接球的半徑為，所以④不正確；

故答案為：②