Question

【題目】已知，其中.

（1）當時，求函數單調遞增區間；

（2）求證：對任意，函數的圖象在點處的切線恒過定點；

（3）是否存在實數的值，使得在上有最大值或最小值，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）或.

【解析】

試題（1）先求函數導數，再解導函數大于零時解集得函數單調遞增區間，注意兩個增區間不可用“或” 、“并”連接，（2）以算代證：先根據導數幾何意義求切線斜率，再根據點斜式寫切線方程，并按實數整理，最后根據恒成立列關于的方程組，解出定點坐標，（3）先求函數導數，再研究導函數零點，即轉化為研究一元二次方程實根分布：沒有實根或有兩個相同實根時，導函數不變號，函數為單調遞增函數，值域為，沒有最值；有兩個不同實根時，函數先增后減再增，只需極小值非正， 就可取到最小值，解不等式可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，.

令，得或.

∴函數的單調遞增區間為，.

（2），

，.

∴函數的圖象在點處的切線方程為.

即.

方程可化為，

當即時，對任意，恒成立.

∴函數的圖象在點處的切線方程經過定點.

（3）.

令，，

，.

①當即時，，

∴，

∴在上單調遞增，

∴在上不存在最大值和最小值.

②當即或時，設方程的兩根為.

隨的變化情況如下表：

當時，，；當時，.

∴要使在上有最大值或最小值，只需滿足即有解.

∴，解得或.

綜上可得，或.