Question

【題目】已知函數，．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數，求的單調區間；并證明：當時，；

（3）證明：當時，函數有最小值，設最小值為，求函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的單調遞增區間為，；證明見解析；（3）證明見解析；.

【解析】

（1）由導數的幾何意義可得切線斜率為1，利用點斜式即可得解；

（2）由題意，求導后可得，即可得的單調區間；由時，即，即可得證；

（3）求出函數的導數，令，由（2）知的單調性，可得存在唯一實數使得，則，令，求導后即可得解.

（1），，，

故所求直線方程為即；

（2）由題意，

則，

的單調遞增區間為，；

當時，即，

由可得即，

，得證.

（3）由題意，

則，

設，

由（2）知，在上單調遞增，

又，，存在唯一實數使得，

當時，，，函數單調遞減；

當時，，，函數單調遞增；

在上有最小值即，

又即，

，

令，

則，函數在上單調遞增，

即，

函數的值域為.