Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為正方形，且平面平面，點為棱的中點.

（1）在棱上是否存在一點，使得平面？并說明理由；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）當為中點時，分別取，中點，，連接，，，，由平面幾何知識證明四邊形是平行四邊形，最后由線面平行的判定定理證明即可；

（2）取中點，連接，，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

（1）當為中點時，平面.理由如下：

如圖，分別取，中點，，連接，，，

又∵是的中點，∴，

又∵為正方形，則，

∴，

又∵是中點，∴，，則四邊形是平行四邊形

∴

又平面，平面，

∴平面.

（2）如圖，取中點，連接，

又，則

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面

∴以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系

設，則，，，，

∴，，

設平面的一個法向量為，則

令得，，則，

∴

∴直線與平面所成角的正弦值為.