Question

【題目】如果既約分數滿足：（、為正整數），則稱為“牛分數”．現將所有的牛分數按遞增順序排成一個數列，稱為“牛數列”．證明：對于牛數列中的任兩個相鄰項、，都滿足．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對任一正整數，將牛數列中分母不大于的子數列記為．

當時，數列顯然滿足條件．

對進行歸納．

據數列知，當時結論成立．

設結論對于成立，考慮數列．

注意到，而中的分數滿足：分母，．

設、是中的一對相鄰分數．

如果它們在中也相鄰，則顯然滿足條件；

如果它們在中不相鄰，即有中的分數插入它們之間（，），即（插入的分數中總有一個與或相鄰，不妨設與相鄰）．

于是，． ①

所以，．

又易知，分數也介于與之間（這是由于，）．

注意到，知與互質，即為既約分數．

若，由及，相乘得．

由，得．

又，且、在中相鄰，則，且式①中等號成立．

故．

從而，，這與矛盾．

因此，．

若分數，則． ②

若、、是中的相鄰項，那么，對于前一對分數而言有；

而對于后一對分數而言有．

因此，插入后的分數列符合條件．

又由式②知，式①等號成立．于是，以及．

由，得． ③

因此，．

又是中能夠插入中的一對相鄰分數、之間的唯一分數，即在由數列過渡到數列時，不論相鄰分數間是否插入了新的分數，所得數列都滿足條件．

因此，對于每個正整數，結論成立．特別是數列滿足條件，故本題得證．