Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面 為等腰直角三角形，,為的中點，為的中點.

(1)求異面直線與所成角的余弦值；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）設AD的中點為G，根據面面垂直性質定理得平面ABCD，建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積得夾角，即得結果，（2）利用方程組解得平面PBD的法向量，利用向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.

（1）如圖，設AD的中點為G，連接PG，因為為等腰直角三角形，=90，所以.又平面平面ABCD,所以平面ABCD.

以G為坐標原點，GA,GP所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標系，

可得A（1,0,0），P（0,0,1）,B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),則E（,1,）,F(-,1,),

所以,.故，

故異面直線ED與BF所成角的余弦值為.

（2）由（1）知，,設平面PBD的法向量為，

則 所以令

所以平面PBD的一個法向量為=(1,-1,-1).

易知平面ABD的一個法向量為=(0,0,1)，

所以，

由圖可知，二面角A-BD-P為銳二面角，

所以二面角A-BD-P的余弦值為.