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已知函數是在上每一點均可導的函數，若 在時恒成立．

（1）求證：函數在上是增函數；

（2）求證：當時，有；

（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結論．

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解析:

（1）由得因為，

       所以在時恒成立，所以函數在上是增函數．……3分

（2）由（1）知函數在上是增函數，所以當時，

有成立，……5分

從而，

兩式相加得．……7分

（3）推廣到一般情況為：

若，則，．……8分

以下用數學歸納法證明

（1）當時，有（2）已證成立，……9分[來源:Zxxk.Com]

（2）假設當時成立，即

那么當時，

成立，即當時也成立．

       有（1）（2）可知不等式對一切時都成立．……12分

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2012屆山東省濟寧市汶上一中高三11月月考文科數學 題型：解答題

（20分）已知函數是在上每一點處均可導的函數，若在上恒成立。
（１）①求證：函數在上是增函數；
②當時，證明：；
（２）已知不等式在且時恒成立，求證：
…

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省濟寧市高三11月月考文科數學 題型：解答題

（20分）已知函數是在上每一點處均可導的函數，若在上恒成立。

（１）①求證：函數在上是增函數；

②當時，證明：；

（２）已知不等式在且時恒成立，求證：

…

 

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年度新課標高三上學期數學單元測試12-文科-算法、復數、推理與證明 題型：解答題

 已知函數是在上每一點均可導的函數，若在時恒成立．

（1）求證：函數在上是增函數；

（2）求證：當時，有；

（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結論（不要求證明）．

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年度新課標高三上學期數學單元測試12-理科-算法、復數、推理與證明 題型：解答題

 已知函數是在上每一點均可導的函數，若 在時恒成立．

（1）求證：函數在上是增函數；

（2）求證：當時，有；

（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結論．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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