Question

【題目】如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C1： 的焦點，且拋物線C1上點M處的切線與圓C2： 相切于點Q．

（Ⅰ）當直線MQ的方程為時，求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）當正數p變化時，記S1 ，S2分別為△FMQ，△FOQ的面積，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2y（2）

【解析】試題分析：（1）依據題設條件，借助導數的幾何意義求出切點坐標及其斜率，建立方程組求解；（2）運用直線與圓相切的建立等量關系，通過解方程組求得點Q的坐標，進而求出S1 ，S2，建立目標函數，然后運用基本不等式求解：

解：（Ⅰ）設點，由得， ，求導，

而直線的斜率為1，所以且，解得

所以拋物線標準方程為

（Ⅱ）因為點M處的切線方程為： ，即，

根據切線又與圓相切，得，即，化簡得，

由方程組，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

點F（0，）到切線PQ的距離是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x0|＞2，

所以===

==+3≥2+3，當且僅當時取“=”號，即，此時，p=，所以的最小值為．

．