Question

【題目】已知函數f（x）= sinxcosx+cos2x
（I）求函數f（x）的最小正周期；
（II）若﹣ ＜α＜0，f（α）= ，求sin2α的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數f（x）= sinxcosx+cos2x= sin2x+ =sin（2x+ ）+ ， ∴函數f（x）的最小正周期為 =π．
（II）若﹣ ＜α＜0，則2α+ ∈（﹣ ， ），
∴f（α）=sin（2α+ ）+ = ，∴sin（2α+ ）= ，∴2α+ ∈（0， ），
∴cos（2α+ ）= = ，
∴sin2α=sin（2α+ ﹣ ）=sin（2α+ ）cos ﹣cos（2α+ ）sin = ﹣ = ．
【解析】（I）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性，得出結論．（II）由條件求得sin（2α+ ）的值以及2α+ 的范圍，可得cos（2α+ ）的值，再根據sin2α=sin（2α+ ﹣ ），利用兩角差的正弦公式，求得sin2α的值．