Question

已知函數
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）若函數沒有零點，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）切線方程為；
（Ⅱ）單調減區間為，單調增區間為；
（Ⅲ）當時，沒有零點.

試題分析：（Ⅰ）應用導數的幾何意義，在切點處的導函數值，等于在該點的切線的斜率，求得斜率，                          利用直線方程的點斜式，求得曲線方程.
（Ⅱ）應用導數研究函數的單調性，遵循“求導數，求駐點，討論各區間導數值的正負”.利用“表解法”形象直觀，易以理解.解答此題，也可以通過解，分別確定函數的增區間、減區間.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函數的單調區間及函數取得極值的情況.
注意討論的不同取值情況、、，根據函數的單調性即極值情況，確定的取值范圍.
試題解析：解：（Ⅰ）當時，，               1分
，                                          3分
所以切線方程為                                 5分
（Ⅱ）                                           6分
當時，在時，所以的單調增區間是； 8分
當時，函數與在定義域上的情況如下：

		0	+
	↘	極小值	↗

                                                                10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
①當時，是函數的單調增區間，且有，，
所以，此時函數有零點，不符合題意；                              11分
②當時，函數在定義域上沒零點；                 12分
③當時，是函數的極小值，也是函數的最小值，
所以，當，即時，函數沒有零點    13分
綜上所述，當時，沒有零點.                       14分