Question

【題目】已知f(x)是R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)畫出f(x)的圖像，并指出f(x)的單調區間．

Answer 1

【答案】(1) 見解析； (2)增區間為[－1,0)及(0,1]，減區間為(－∞，－1]及[1，＋∞)

【解析】

（1）只需先求出x≤0時的表達式．由奇函數的性質可得f（﹣0）=﹣f（0），可求得f（0）；當x＜0時，﹣x＞0，利用已知表達式可求得f（﹣x），根據奇函數性質可得f（x）=﹣f（﹣x），由此可求得f（x）；（2）根據二次函數的圖像的性質可分段求出單調區間；

(1)設x<0，則－x>0.

∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.

又∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.

又f(0)＝0，∴f(x)＝

(2)先畫出y＝f(x)(x>0)的圖像，利用奇函數的對稱性可得到相應y＝f(x)(x<0)的圖像，其圖像如圖所示．

由圖可知，其增區間為[－1,0)及(0,1]，

減區間為(－∞，－1]及[1，＋∞)