（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）已知
為橢圓
上兩動點，
分別為其左右焦點，直線
過點
，且不垂直于
軸，
的周長為
，且橢圓的短軸長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
為橢圓的左端點，連接
并延長交直線
于點
．求證：直線
過定點．
（1）
；（2）證明詳見解析.
解析試題分析：（1）結合圖形及橢圓的定義先得到
的周長為
，進而根據條件列出方程組
，從中求解即可得出
的值，進而可寫出橢圓的方程；（2）由（1）確定
，進而設點
，設直線
，聯立直線與橢圓的方程，解出點
，設直線
，可得
，進而根據
三點共線得出
，將點的坐標代入并化簡得到
，進而求出點的坐標，
，然后寫出直線的方程并化簡得到
，從該直線方程不難得到該直線恒通過定點
，問題得證.
（1）依題意有：的周長為
所以
，則橢圓的方程為 4分
（2）由橢圓方程可知，點
設直線，由
得
，從而
，
，即點
同理設直線，可得 7分
由三點共線可得
，即，代入兩點坐標化簡可得
9分
直線
，可得點
，即
從而直線的方程為
化簡得
，即，
從而直線過定點
12分.
考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的位置關系.
小學生10分鐘口算測試100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為
，且過點(4，－
)．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：
·
＝0；
(3)求△F1MF2的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
（
）的左、右焦點為
，右頂點為
，上頂點為
．已知
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設
為橢圓上異于其頂點的一點，以線段
為直徑的圓經過點
，經過原點
的直線
與該圓相切，求直線的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左右頂點分別為
，離心率
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點
為曲線
:
上任一點（點不同于
），直線
與直線
交于點
，
為線段
的中點，試判斷直線
與曲線的位置關系，并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的焦點在x軸上，左右頂點分別為
，上頂點為B，拋物線
分別以A,B為焦點，其頂點均為坐標原點O，
與
相交于 直線
上一點P．
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動直線
與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點M,N，已知點
，求
的最小值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1，0)，C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M(4，0)的直線l與拋物線C2分別相交于A ，B兩點．
(1)如圖所示，若
，求直線l的方程；
(2)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．
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已知橢圓
的左右頂點分別為
，離心率
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點
為曲線
:
上任一點（點不同于
），直線
與直線
交于點
，
為線段
的中點，試判斷直線
與曲線的位置關系，并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2013•湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，記
，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．
（1）當直線l與y軸重合時，若S1=λS2，求λ的值；
（2）當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．
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過點（0，4），離心率為
的直線被C所截線段的中點坐標．