Question

已知數列，滿足：．
（1）若，求數列的通項公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數列為等差數列；
② 若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項應滿足的條件．

Answer 1

（1）
（2）①根據等差數列的定義，證明相鄰兩項的差為定值來得到證明。從第二項起滿足題意即可。
②當，數列任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次

試題分析：解：（1）當時，有
．
又也滿足上式，所以數列的通項公式是．    4分
（2）①因為對任意的，有，所以，
，
所以，數列為等差數列．                    8分
②設（其中為常數且，
所以，，
即數列均為以7為公差的等差數列．               10分
設．
（其中為中一個常數）
當時，對任意的，有；             12分
當時，．
（Ⅰ）若，則對任意的有，所以數列為遞減數列；
（Ⅱ）若，則對任意的有，所以數列為遞增數列．
綜上所述，集合．
當時，數列中必有某數重復出現無數次；
當時，數列均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多出現一次，所以數列任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次．     18分
點評：主要是考查了等差數列的概念和數列的單調性的運用，屬于難度題。