Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點．

（1）求證：AD⊥平面PNB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐PNBM的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)由等邊三角形的性質可得PN⊥AD，BN⊥AD，從而可證明.
(2)由平面PAD⊥平面ABCD，結合(1)可得PN⊥平面ABCD，由條件有,從而可求得體積.

（1）連接BD.

∵PA＝PD，N為AD的中點，∴PN⊥AD.

又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴△ABD為等邊三角形，

∴BN⊥AD，

又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.

（2）∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，

∴PN⊥平面ABCD，

∴PN⊥NB，∴S△PNB＝.

∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.

又PM＝2MC，

∴.