Question

【題目】已知拋物線經過點，過作傾斜角互補的兩條不同直線、.

（1）求拋物線的方程及準線方程；

（2）設直線、分別交拋物線于、兩點（均不與重合，如圖），記直線的斜率為正數，若以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切，求的值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，準線方程為；（2）.

【解析】

（1）代入的坐標，解方程可得，即得到拋物線的方程和準線方程；

（2）設直線的方程為，聯立拋物線的方程，可得的方程，運用韋達定理可得的坐標，將換為，可得的坐標，求得的長和中點坐標，可得所求圓的半徑和圓心，由直線和圓相切的條件，求得．

（1）由于在拋物線上，所以，即，

故所求拋物線的方程為，其準線方程為；

（2）設直線的方程為，

將直線的方程與拋物線的方程聯立，

消去得，

設點，，由韋達定理得，可得，

所以，點的坐標為，

同理可知，點的坐標為，

，

線段的中點坐標為，

因為以為直徑的圓與準線相切，，解得.