Question

【題目】已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(0)＝0，當x>0時，

f(x)＝.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）設x＜0，可得-x＞0，則f（-x）=，再由函數f（x）是偶函數求出x＜0時的解析式，則答案可求；
（2）由f（4）=＝2，因為f（x）是偶函數，不等式f（x2-1）＞-2可化為f（|x2-1|）＞f（4）,利用函數f（x）在（0，+∞）上是減函數，可得|x2-1|＜4，求解絕對值的不等式可得原不等式的解集．

試題解析：

(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝log (－x).

因為函數f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)＝log (－x)，

所以函數f(x)的解析式為

f(x)＝

(2)因為f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函數，

所以不等式f(x2－1)>－2轉化為f(|x2－1|)>f(4).

又因為函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集為(－，).