Question

已知拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點，且兩條曲線都經過點.

（1）求這兩條曲線的標準方程；

（2）已知點在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構成的三角形的面積為4，求點 的坐標.

 

Answer 1

（1）,；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）可以先利用待定系數法可以先求拋物線方程，然后利用定義法或待定系數法求出雙曲線方程;

（2）先利用三角形的面積是4，求出點p的縱坐標是，再利用點P在拋物線上，求出橫坐標即可.

試題解析：（1）∵拋物線經過點，

∴，解得，

∴拋物線的標準方程為. 3分

∴拋物線的焦點為，∴雙曲線的焦點為．

法一：∴，，

∴，． 5分

∴．

∴雙曲線的標準方程為. 8分

法二：，∵雙曲線經過點，∴， 5分

解得 ，.

∴雙曲線的標準方程為. 8分

（2）設點的坐標為，由題意得，

，∴， 11分

∵點在拋物線上，∴，∴點的坐標為或. 14分

考點：(1)雙曲線的標準方程；(2)拋物線的標準方程.