Question

若不等式(

1

2

)x2-2ax＜23x+a2對任意實數x都成立，則a的取值范圍為

(

3

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：先利用指數的運算性質將不等號兩邊的指數式的底數都化為

1

2

，再根據以

1

2

為底的指數函數在R上減函數，要將原一不等式化為一個二次不等式，結合二次函數的圖象和性質，構造關于a的不等式即可得到答案．

解答：解：若不等式(

1

2

)x2-2ax＜23x+a2對任意實數x都成立，
即(

1

2

)x2-2ax＜

1

2

-(3x+a2)對任意實數x都成立，
即x²-2ax+3x+a²＞0恒成立
即△=（3-2a）²-4a²＜0
解得a＞

3

4

故a的取值范圍為(

3

4

，+∞)
故答案為：(

3

4

，+∞)

點評：本題考查的知識點是指數函數的單調性與特殊點，其中在解答指數不等式式時，要選將不等號兩邊的式子的底數化成一致，再利用指數函數的單調性將指數不等式化為整式不等式．