Question

【題目】設函數y=f（x）的定義域為R，并且滿足f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），且f（2）=1，當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明；
（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，則f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），∴f（0）=0
（2）解：函數y=f（x）在定義域R上單調遞增，理由如下：

任取x1，x2∈R，不妨設x1＞x2，則x1﹣x2＞0．

∵當x＞0時，f（x）＞0．

∴f（x1﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），

∴函數y=f（x）在定義域R上單調遞增

（3）解：∵f（x﹣y）=f（x）﹣f（y）．

∴f（x）=f（x﹣y）+f（y），

∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（2）+f（4﹣2）=f（4），

∵f（x）+f（x+2）＜2，

∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．

∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）=f（4﹣x）．

∵函數y=f（x）在定義域R上單調遞增，∴x+2＜4﹣x，

從而x＜1．

∴x的取值范圍為{x|x＜1}

【解析】（1）令x=y=0，可得f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1 ， x2∈R，不妨設x1＞x2 ， 則x1﹣x2＞0．根據當x＞0時，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出單調性．（3）由f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），可得f（x）=f（x﹣y）+f（y），可得2=f（2）+f（2）=f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，轉化為：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函數y=f（x）在定義域R上單調遞增，即可得出．