設函數
且
其中
為自然對數的底數。
（Ⅰ）求
與
的關系；（Ⅱ）若
在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）設
，若在
上至少存在一點
，使
成立。求實
數的取值范圍。
（文）解(1)設
則
由
得
即
（2分）
于是
的中點
的坐標為
當不與
軸垂直時 
∵
在雙曲線上 ∴
① 
②
①-②得
∴
（4分） ∵
∴
化簡得
當與軸垂直時，
求得
也滿足上述方程 ∴點
的軌跡方程是 （6分）
(2)假設在軸上存在定點
,使
為常數.
當不與軸垂直時設的方程為
,
代入
有
則
于是
（10分）
因為是與
無關常數,所以
即
此時
當與軸垂直時點
， 點
此時故在軸上存在定點,使為常數. （12分）
（理）解：（1）由題意得
∴
而
∴
即
（3分）
（2）由（1）知
，令
（5分）
要使
在
內單調，只需
在內，滿足
或
恒成立
① 當
時，合題意
②當
時，
只需
即
，合題意
③當
時，只需
即
，合題意。
綜上所述，
的范圍為或。 （7分）
（3）∵
在
上是減函數。 ∴
∴
①當時，由（2）知在上遞減，
不合題意
②當
時，由
∴
由（2）知當
在上增函數。∴
不合題意
③當時，由（2）知，在上增函數。
又∵
在上是減函數，故只需
（9分）
而
∴
解得
綜上的取值范圍
（12分）
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科目：高中數學 來源： 題型：
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| n |
 |
| k=1 |
| 3 |
| 8 |
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年河南省原名校高三上學期期聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
設函數f（x）＝
＋
，g（x）＝
ln（2ex）（其中e為自然對數的底數）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函數h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由：
3）數列{
}中，a1＝1，＝g（
）（n≥2），求證：＜
＜＜1且
＜
．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省高三12月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（滿分１5分）設函數
，
，（其中
為自然底數）；
（Ⅰ）求
（
）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函數
使得
且
對一切恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）數列
中，
，
，求證：
。
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年四川省成都市模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
其中
為自然對數的底數，
.(Ⅰ)設
，求函數
的最值；（Ⅱ）若對于任意的
，都有
成立，求
的取值范圍.
【解析】第一問中，當
時，
，
．結合表格和導數的知識判定單調性和極值，進而得到最值。
第二問中，∵
，
，
∴原不等式等價于：
,
即
, 亦即
分離參數的思想求解參數的范圍
解：（Ⅰ)當時，，．
當在
上變化時，
，
的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
－ |
|
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
1／e |
∴
時，
，
．
(Ⅱ)∵，，
∴原不等式等價于：
,
即, 亦即．
∴對于任意的
，原不等式恒成立,等價于對
恒成立,
∵對于任意的時, 
（當且僅當
時取等號）．
∴只需
，即
，解之得
或
.
因此，的取值范圍是
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