Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：．

若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求切線l的方程；

已知點為直線上一點，由點P向圓C引一條切線，切點為M，若，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）點的坐標為或.

【解析】

（1）根據題意，利用待定系數法給出切線的截距式方程，然后再利用圓心到切線的距離等于半徑列方程求系數即可；

（2）根據題意，由直線與圓的位置關系可得PM2＝PC2﹣MC2，又由PMPO，則2PO2＝PC2﹣MC2，代入點的坐標變形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，又由點P（x1，y1）為直線y＝2x﹣6上一點，則y1＝2x1﹣6，②，聯立①②，解可得x1的值，進而計算可得y1的值，即可得答案．

（1）將圓化標準方程為，

所以圓心，半徑.

又因為圓的切線在軸和軸上的截距相等，且截距不為零，

所以設切線的方程為.

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，

即.

解得：或.

所以切線的方程為或.

（2）因為為切線且為切點，所以.

又因為，所以.

又因為，，

所以，

化簡可得：①；

因為點在直線上，所以②.

聯立①②可得：，

消去可得：，解得或.

將代入②可得：，所以點的坐標為.

將代入②可得，所以點的坐標為.

綜上可知，點的坐標為或.