Question

【題目】已知指數函數y=g（x）滿足g（3）=8，又定義域為實數集R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）討論函數y=f（x）的單調性；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設g（x）=ax，（a＞0且a≠1），g（3）=a3=8，

故a=2，f（x）= ，

任取實數x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）

= ﹣

= ，

∵x1＜x2，考慮y=2x在R遞增，

∴ ＞ ＞0，

∴ ﹣ ＞0，（1+ ）（1+ ）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴y=f（x）在R遞減；

（2）解：要使f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，

即f（2t﹣3t2）＞﹣f（t2﹣k）成立，

即f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）成立，

由（1）得：2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，

設h（t）=﹣2t2+2t=﹣2 + ，

h（t）max= ，

故k＞ ．

【解析】（1）根據g（3）=a3=8，求出a的值，從而求出f（x）的解析式，根據函數單調性的定義判斷函數的單調性即可；（2）根據函數f（x）的單調性和奇偶性得到2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，設h（t）=﹣2t2+2t=﹣2 + ，根據二次函數的性質求出k的范圍即可．