Question

已知函數．
（1）求t的值；
（2）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）設F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調遞增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（4）是f（x）的最小值
對f（x）求導，有f'（x）=（），
∴x=4時，f'（x）=0，∴=0，∴t=3；
（2）f'（x）==
∴在x∈（3，4）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調減，在x∈（4，7）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=ln5，f（7）=
∴f（3）＞f（7），∴x=3時，f（x）在[3，7]上取得最大值，為ln5；
（3）F′（x）=-f′（x）=≥0在（2，+∞）上恒成立
∴≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情況討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況．
當a-1＜0時，顯然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1=0時（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1＞0時，又有兩種情況：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，無解；由②得a≥-，a-1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，當a≥1時（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．
分析：（1）f（4）是f（x）的最小值，求導函數，即可求得結論；
（2）令導函數等于0求出x的值，判斷函數的單調性，進而可求出最大值．
（3）對函數f（x）進行求導，然后令導函數大于等于0在R上恒成立即可求出a的范圍
點評：本題考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．