Question

已知函數．
（1）求函數f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），求a與t的值；
（3）對任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由真數大于0，解分式不等式可得函數的定義域，利用定義判斷函數的奇偶性；
（2）給出的函數是對數型的復合函數，經分析可知內層分式函數為減函數，外層對數函數也為減函數，要保證
當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），首先應有（t，a）⊆（-1，1），且當x∈（t，a）時，
∈（a，+∞），結合內層函數圖象及單調性可得t=-1，且，從而求出a和t的值；
（3）假設存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），代入對數式后把x₃用x₁，x₂表示，只要能夠證明x₃在定義域內即可，證明可用作差法或分析法．
解答：解：（1）要使原函數有意義，則，解得-1＜x＜1，
所以，函數f（x）的定義域D=（-1，1）
f（x）是定義域內的奇函數．
證明：對任意x∈D，有
所以函數f（x）是奇函數．
另證：對任意x∈D，
所以函數f（x）是奇函數．
（2）由知，函數在（-1，1）上單調遞減，
因為0＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函數  
又因為x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）
且在（t，a）的值域是（a，+∞），
故且t=-1（結合g（x）圖象易得t=-1）
由得：a²+a=1-a，解得或a=（舍去）．
所以，t=-1
（3）假設存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）
即
則，
解得，
下面證明．
證明：法一、
由．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴，，
∴，即，∴．
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
法二、
要證明，即證，也即．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴，∴，
∴．
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了復合函數的單調性，考查了復合函數的值域，體現了數學轉化思想方法，訓練了存在性問題的證明方法，該題綜合考查了函數的有關性質，屬有一定難度的題目．