Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面與側面都是菱形，， .

（1）證明： ；

（2）若三棱柱的體積為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）取的中點，連接、、、，由菱形的性質可得，，則平面，.

（2）由題意結合幾何關系可得平面，建立空間直角坐標系.則平面的一個法向量為，是平面的一個法向量.據此計算可得二面角的余弦值為.

詳解：（1）取的中點，連接、、、，

由菱形的性質及.

得，為正三角形.

∴，，且.

∴平面，∴.

（2）三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一，

得四棱錐的體積是柱體體積的三分之二，即等于.

平行四邊形的面積為.

設四棱錐的高為，則：

，∴，

又，平面，

建立如圖直角坐標系：.

則，，.

，，

設平面的一個法向量為，

則，

取一個法向量為，

顯然是平面的一個法向量.

則.

二面角的余弦值為.