Question

【題目】已知函數，

（1）當，時，求函數在上的最小值；

（2）若函數在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；

（3）設，若函數有兩個極值點，，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）求導后可得函數的單調性，從而得到；（2）利用切線互相垂直可知，展開整理后可知關于的方程有解，利用可得關于的不等式，解不等式求得結果；（3）根據極值點的定義可得：，，從而得到且，進而得到，令，利用導數可證得，從而得到所求范圍.

（1）當，時，，

則

當時，；當時，

在上單調遞減；在上單調遞增

（2）由解析式得：

，

函數在與處的切線互相垂直

即：

展開整理得：

則該關于的方程有解

整理得：，解得：或

（3）當時，

是方程的兩根 ，

且， ，

令，則

在上單調遞增

即：