Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，頂點在底面內的射影恰為點．

（1）求證：平面；

（2）若直線與底面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）如圖，連接，證明和，平面即得證；

（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 利用向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

（1）證明：

如圖，連接，則平面，

因為平面 ，

在等腰梯形中，連接，過點作于點，

，

則

因此滿足

又面

所以平面 .

（2）

由（1）知兩兩垂直，

平面

以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

設平面的法向量，由得

可得平面的一個法向量

平面的一個法向量，

設平面與平面所成銳二面角為

則.

因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為．