Question

已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設圓是的外接圓（點為圓心）

（I）求圓的方程；

（II）設圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．

Answer 1

本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。

（Ⅰ）解法一：設A、B兩點坐標分別為,由題知

解得

所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）

設圓心C的坐標為（r,0），則r=，因此圓C的方程為

 

解法二：設A、B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設知

又因為，可得，即

。

由，可知x₁＝x₂，故A、B兩點關于x軸對稱，所以圓心C在x軸上，

設C點的坐標為（r,0），則A點的坐標為（），于是有，解得r=4，所以圓C的方程為

。

（Ⅱ）解：設∠ECF＝2a，則

在Rt△PCE中，，由圓的幾何性質得

 

所以，由此可得

故，最小值為-8