Question

已知函數，．

（I）求函數f（x）的解析式；

（II）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求實數a的取值范圍；

（III）設x₁，x₂＞0，a₁，a₂∈[0，1]，且a₁+a₂=1，求證：．

Answer 1

考點：

導數在最大值、最小值問題中的應用；函數單調性的性質；導數的運算；不等式的證明．

專題：

導數的綜合應用．

分析：

（I）為了求函數f（x）的解析式，根據題意，即求出其中的f'（2）的值，故只須對函數求導后令x=2即可；

（II）設F（x）=f（x）+g（x），對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只須a≥F（x）_max即可，利用導數求函數F（x）的最大值，即可得出實數a的取值范圍；

（III）由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，再分別令，，后利用不等式的性質兩式相加，得到一個不等關系式，化簡即可證出結論．

解答：

解：（I）因為，

所以f′（x）=x﹣f′（2）．（2分）

令x=2，得f′（2）=1，

所以f（x）=．

（II）解：設F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣x，

則F′，（5分）

令F′（x）=0，解得x=1．（6分）

當x變化時，F（x）與F′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	↑	極小值	↓

所以當x=1時，F（x）_max=F（1）=﹣1．（8分）

因為對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，

所以a≥﹣1．（9分）

（III）證明：由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，

令，得，

令，得，（11分）

所以

因為a₁+a₂=1，

所以，（13分）

所以a₁lnx₁﹣a₁ln（a₁x₁+a₂x₂）+a₂lnx₂﹣a₂ln（a₁x₁+a₂x₂）≤0，

即a₁lnx₁+a₂lnx₂≤（a₁+a₂）ln（a₁x₁+a₂x₂）=ln（a₁x₁+a₂x₂），

所以，

所以（14分）

點評：

本題考查了導數在最大值、最小值問題中的應用，及利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，考查了函數恒成立問題，是中檔題．