Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）證明：當時，方程在區間上只有一個解；

（3）設，其中.若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在區間上單調遞增.（2）見解析(3)

【解析】分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）求出函數的導函數，根據函數的單調性，得到函數在的零點個數，求出方程在的解的個數即可；

（3）設，，根據函數的單調性求出函數的最小值， ，求出的范圍即可.

詳解：（1）由已知.

所以，在區間上，函數在上單調遞減，

在區間上，函數在區間上單調遞增.

（2）設，.

，由（1）知，函數在區間上單調遞增.

且，.

所以，在區間上只有一個零點，方程在區間上只有一個解.

（3）設，，定義域為，

，

令，則，

由（2）知，在區間上只有一個零點，是增函數，

不妨設的零點為，則，

所以，與在區間上的情況如下：

	-	0	+

所以，函數的最小值為，

，

由，得，

所以.

依題意，即，解得，

所以，的取值范圍為.