【題目】設函數
．
（I）求
的單調區間；
（II）當0<a<2時，求函數
在區間
上的最小值．
【答案】（I）遞增區間為
，單調遞減區間為
；（II）當
時，
；當
時，
．
【解析】
第一問定義域為真數大于零，得到
．
．
令
，則
，所以
或
，得到結論。
第二問中，
（
）．
．
因為0<a<2，所以
，
．令
可得
．
對參數討論的得到最值。
所以函數
在
上為減函數，在
上為增函數．
（I）定義域為． ………………………1分
．
令，則，所以或． ……………………3分
因為定義域為，所以．
令
，則
，所以
．
因為定義域為，所以
． ………………………5分
所以函數的單調遞增區間為，
單調遞減區間為． ………………………7分
（II）（）．
．
因為0<a<2，所以，．令可得．…………9分
所以函數在上為減函數，在上為增函數．
①當
，即時，
在區間
上，在上為減函數，在
上為增函數．
所以
． ………………………10分
②當
，即時，在區間
上為減函數．
所以
．
綜上所述，當時，；
當時，
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，點
，圓
，點
是圓上一動點，線段
的中垂線與線段
交于點
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）若直線
與曲線
相交于
兩點，且存在點
（其中
不共線），使得
被
軸平分，證明：直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點曲線
的一個焦點， 
為坐標原點，點
為拋物線
上任意一點，過點
作
軸的平行線交拋物線的準線于
，直線
交拋物線于點
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）求證：直線
過定點
，并求出此定點的坐標.
【答案】（I）
；（II）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線
化為標準方程，可求得
的焦點坐標分別為
，可得
，所以
，即拋物線的方程為
；（Ⅱ）結合（Ⅰ），可設
，得
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
.
試題解析：（Ⅰ）由曲線
，化為標準方程可得
， 所以曲線
是焦點在
軸上的雙曲線，其中
，故
， 
的焦點坐標分別為
，因為拋物線的焦點坐標為
，由題意知
，所以
，即拋物線的方程為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線
的準線方程為
，設
，顯然
.故
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
①當
，即
時，直線
的方程為
，
②當
，即
時，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
， 
也在直線
的方程為
上，故直線
的方程恒過定點
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1），在平面六邊形
中，四邊形
是矩形，且
， 
， 
，點
， 
分別是
， 
的中點，分別沿直線
， 
將
， 
翻折成如圖（2）的空間幾何體
．
（Ⅰ）利用下列結論1或結論2，證明： 
、
、
、
四點共面；
結論1：過空間一點作已知直線的垂面，有且僅有一個．
結論2：過平面內一條直線作該平面的垂面，有且僅有一個．
（Ⅱ）若二面角
和二面角
都是
，求三棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】祖暅是我國南北朝時期杰出的數學家和天文學家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同冪，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型.設某雙曲線型冷卻塔是曲線
與直線
， 
和
所圍成的平面圖形繞
軸旋轉一周所得，如圖所示.試應用祖暅原理類比求球體體積公式的方法，求出此冷卻塔的體積為_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現采用分層抽樣方法從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核.
（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數；
（2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）記X表示抽取的3名工人中男工人人數，求X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎活動，抽獎箱里放有3個紅球，3個黃球和1個藍球（這些小球除顏色外大小形狀完全相同），從中隨機一次性取3個小球，每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱.活動另附說明如下：
①凡購物滿100（含100）元者，憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會；
②凡購物滿188（含188）元者，憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會；
③若取得的3個小球只有1種顏色，則該顧客中得一等獎，獎金是一個10元的紅包；
④若取得的3個小球有3種顏色，則該顧客中得二等獎，獎金是一個5元的紅包；
⑤若取得的3個小球只有2種顏色，則該顧客中得三等獎，獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數據（單位：元），繪制得到如圖所示的莖葉圖.
（1）求這20位顧客中獎得抽獎機會的顧客的購物消費數據的中位數與平均數（結果精確到整數部分）；
（2）記一次抽獎獲得的紅包獎金數（單位：元）為
，求
的分布列及數學期望，并計算這20位顧客（假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎）在抽獎中獲得紅包的總獎金數的平均值.
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