Question

【題目】設函數f（x）＝ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）當a＞0時，證明f（x）≥ln（ae2）﹣2a（e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)證明見解析

【解析】

（1）先求出導函數f'（x），再對a分情況討論，分別求出函數f（x）的單調區間；

（2）由（1）可知當a＞0時，f（x）的最小值為f（1）＝1﹣a，令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，利用導數得到g（a）的最小值為g（1）＝0，所以g（a）≥0，即證得f（x）≥ln（ae2）﹣2a．

（1）f'（x）＝2ax+（1﹣2a），x＞0，

①當a≥0時，令f'（x）＞0得：x＞1；令f'（x）＜0得：0＜x＜1，

∴函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1），

②當a＜0時，若1，即a時，f'（x）≤0，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞），

若1即a＜0時，f（x）的單調遞減區間為（0，1），（，+∞），單調遞增區間為（1，），

若1即a時，f（x）的單調遞減區間為（0，），（1，+∞），單調遞增區間為（，1）；

（2）由（1）可知當a＞0時，f（x）的最小值為f（1）＝1﹣a，

令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，

∴g'（a）＝1，

∴當a∈（0，1）時，g'（a）＜0，g（a）單調遞減；

當a∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，

∴g（a）的最小值為g（1）＝0，

∴g（a）≥0，

∴1﹣a≥lnae2﹣2a，

即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．