Question

【題目】已知橢圓以原點為中心，左焦點的坐標是，長軸長是短軸長的倍，直線與橢圓交于點與，且、都在軸上方，滿足；

（1）求橢圓的標準方程；

（2）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；

【解析】

（1）由題意設橢圓方程為：（），，即

代入即可求出值從而求出橢圓方程。（2）B關于軸的對稱點在直線AF上，設直線AF的方程：，代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，代入

和直線方程即可證明直線過定點。

（1）設橢圓的標準方程為：（），由題意得，即。又，代入即可求得，。

橢圓方程為：

（2）因為，所以

。

設，直線AB的方程為，將代入，

所以

即

即

代入韋達定理可得：

所以直線為

所以直線恒過。