Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，、，，點在橢圓上，為原點.

⑴若，，求橢圓的離心率；

⑵若橢圓的右頂點為，短軸長為2，且滿足為橢圓的離心率）.

①求橢圓的方程；

②設直線：與橢圓相交于、兩點，若的面積為1，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）由題意得，利用勾股定理得，再利用橢圓的定義得到的關系，從而求得離心率；

（2）①由，得，求出后，即可得到橢圓的方程；

②設點，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理和弦長公式求得關于的解析式，再由點到直線的距離公式，得到面積，從而求得的值.

（1）連接.因為，

所以是等邊三角形，所以.

又，所以,所以.

于是，有，

所以，即所求橢圓的離心率為.

（2）①由，得，

整理，得.

又因為，所以，.

故所求橢圓的方程為.

②依題意，設點.

聯立方程組

消去，并整理得.

則，（*）

且，

所以.

又點到直線的距離為，

所以.

因為，所以，解得.

經驗證滿足（*）式，

故所求實數.