Question

【題目】如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數，的圖象，且圖象的最高點為；賽道的后一部分為折線段MNP．為保證參賽運動員的安全，限定．

（1）求點M的坐標；

（2）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？

Answer 1

【答案】(1) ．(2) 將設計為時，折線段賽道MNP最長．

【解析】

（1）利用圖象分別求得周期和的值，進而求得最后得到函數解析式，即可求得的坐標．

（2）設，利用正弦定理表示出，，即可表示出，用兩角和差的正弦公式化簡，根據三角函數的性質求得最大值.

解：（1）由題意知，，

∵，∴，

∴．

當時，，

∴．

（2）連接MP，如圖所示．

又∵，∴．

在中，，．

設，則，

∵．

∴，．

∴

．

∵，

∴，

∴．

∴當時，折線段賽道MNP最長．

所以將設計為時，折線段賽道MNP最長．