Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，且橢圓經過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設過點的直線與橢圓交于、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題設條件結合橢圓的定義與性質直接求出， 的值，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）先討論直線斜率不存在的情況，求出點的坐標，再根據斜率存在設過點的直線的方程，設與橢圓交于兩點的坐標，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去，得到關于的一元二次方程，由于兩曲線交于兩點，故判斷式大于0且可利用根與系數的關系建立兩點的坐標與直線的斜率的等量關系，再設出點的坐標，用兩點的坐標表示出，然后綜合計算即可求得點的軌跡方程.

試題解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ．

又由已知，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設點的坐標為.

（1）當直線與軸垂直時，直線與橢圓交于兩點，此時點坐標為

（2）當直線與軸不垂直時，設直線的方程為.

∵在直線上，∴設點的坐標分別為，則

， .又.

由，得，

即 ①

將代入中，得 ②

由，得.

由②知， ， ，

代入①中并化簡，得 ③

∵點在直線上，

∴，代入③中并化簡，得.

由③及，可知，即.

又滿足，故.

由題意， 在橢圓內部，所以，又由有

且，則.

所以點的軌跡方程是，其中， ，