Question

（本小題滿分13分）
設函數
（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；
（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

Answer 1

（I）分別在區間單調增加，在區間單調減少．
（II）當時，，當時，，所以無極值．
若，，，也無極值．
的極值之和為
．

解：（Ⅰ），
依題意有，故．從而．
的定義域為，當時，；
當時，；  當時，．
從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少．
（Ⅱ）的定義域為，．
方程的判別式．
（ⅰ）若，即，在的定義域內，故的極值．
（ⅱ）若，則或．
若，，．
當時，，當時，，所以無極值．
若，，，也無極值．
（ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根，．
當時，，從而有的定義域內沒有零點，故無極值．
當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．
綜上，存在極值時，的取值范圍為．
的極值之和為
．