Question

【題目】定義域為R的偶函數f(x)滿足對x∈R，有f(x+2)＝f(x)﹣f(1)，且當x∈[2，3]時，f(x)＝﹣2x2+12x﹣18，若函數y＝f(x)﹣loga(|x|+1)至少有6個零點，則a的取值范圍是( )

A.(0，)B.(0，)C.(0，)D.(0，)

Answer 1

【答案】B

【解析】

令x＝﹣1，求出f(1)＝0，得出函數f(x)的周期為2，畫出f(x)和y＝loga(|x|+1)的圖象，利用數形結合的方法進行求解；

解：∵f(x+2)＝f(x)﹣f(1)，∴f(﹣1+2)＝f(﹣1)﹣f(1)，即f(1)＝f(﹣1)﹣f(1)，∴2f(1)＝f(﹣1)．

∵f(x)是定義域為R的偶函數，∴f(﹣1)＝f(1)，∴2f(1)＝f(1)，f(1)＝0．∴f(x+2)＝f(x)，∴f(x)是周期為2的偶函數．

作出f(x)和y＝loga(|x|+1)的圖象如圖所示：

∵函數y＝f(x)﹣loga(|x|+1)至少有6個零點，∴0＜a＜1．

∴loga(2+1)＞﹣2，解得0＜a．

故選：B．