Question

已知函數f(x)=ln2(1+x)，g(x)=

x2

1+x

．
（1）證明：對任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）若不等式(1+

1

n

)n+a≤e對任意的n∈N^*都成立（其中e為自然對數的底數），求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）構造函數h(x)=f(x)-g(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，求出函數的最大值為0，即可證明對任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）不等式(1+

1

n

)n+a≤e等價于不等式（n+a）ln（1+

1

n

）≤1，借用（1）結論，構造新函數，確定函數的單調性，從而可求函數的最值，即可求出a最大值．

解答：（1）證明：構造函數h(x)=f(x)-g(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，函數h（x）的定義域是（-1，+∞），
h′（x）=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

．
設F（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則F'（x）=2ln（1+x）-2x．
令G（x）=2ln（1+x）-2x，則G′（x）=-

2x

1+x

．
當-1＜x＜0時，G'（x）＞0，G（x）在（-1，0）上為增函數，
當x＞0時，G'（x）＜0，G（x）在（0，+∞）上為減函數．
所以G（x）在x=0處取得極大值，而G（0）=0，所以F'（x）＜0（x≠0），
∴函數F（x）在（-1，+∞）上為減函數．
于是當-1＜x＜0時，F（x）＞F（0）=0，當x＞0時，F（x）＜F（0）=0．
所以，當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數．
當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數．
故函數h（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）．
∴h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0
∴h（x）≤0，∴對任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）解：不等式(1+

1

n

)n+a≤e等價于不等式（n+a）ln（1+

1

n

）≤1．
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
設M（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈（0，1]，則M′（x）=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

由（1）知，ln²（1+x）-

x2

1+x

≤0，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以M'（x）＜0，x∈（0，1]，于是M（x）在（0，1]上為減函數．
故函數M（x）在（0，1]上的最小值為M（1）=

1

ln2

-1．
所以a的最大值為

1

ln2

-1．

點評：本題以函數為載體，考查不等式的證明，考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，解題時構造新函數，確定函數的單調性與極值時關鍵．