Question

【題目】已知函數， 為實數.

（1）若關于的不等式的解集為，求實數的值；

（2）設，當時，求函數的最小值（用表示）；

（3）若關于不等式的解集中恰好有兩個整數解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) m=-2；(2)詳見解析;(3) 或.

【解析】試題分析：（1）有二次不等式的解法知，1,2是方程f(x)=0的根，進而可求實數；

（2）由對稱軸與定義域的位置關系，結合二次圖像即可得最小值；

（3）由得，設，由，所以原不等式一定有整數解x=1，故有兩種情況，即{0,1}和{1,2}，分別求范圍即可.

試題解析：

（1）因為不等式的解集是(1,2),所以1,2是方程f(x)=0的根,

由f(2)=0得m=-2，經驗證符合題意，所以m=-2；

（2）函數的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為，

因為，所以，

①當，即m≥3時，函數在單調遞增，

則當x=-1時取得最小值；

②當，即時，

函數在上遞減，在上單調遞增，

所以當時，函數有最小值；

綜上所述，當m≥3時；當時.

（3）由得，

設，

因為，所以原不等式一定有整數解x=1.

因為不等式的解集中恰好有兩個整數解，故有兩種情況，即{0,1}和{1,2};

①當解集中恰好有兩個整數解集為{0,1}時，有，解得；

②當解集中恰好有兩個整數解集為{1,2}時，有，解得；

綜上，m的取值范圍是或.