Question

【題目】試討論函數f（x）= 在區間[0，1]上的單調性．

Answer 1

【答案】解：f（x）= 在區間[0，1]上是減函數，理由如下：
證法一：設x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 即﹣1≤x1＜x2≤1．
f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = =﹣ ，
∵x2﹣x1＞0， ＞0，
∴當x1＞0，x2＞0時，x1+x2＞0，
那么f（x1）＞f（x2）．
故f（x）= 在區間[0，1]上是減函數；
證法二：∵函數f（x）= ，令y= ，u=1﹣x2 ，
則y′= ，u′=﹣2x．
∴f′（x）= ，
當x∈[0，1）時，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立
當x=1時，f（x）=0
故f（x）= 在區間[0，1]上是減函數
【解析】f（x）= 在區間[0，1]上是減函數，理由如下：
證法一：設x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）＞f（x2）可得：f（x）= 在區間[0，1]上是減函數；
證法二：求導，根據當x∈[0，1）時，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，當x=1時，f（x）=0可得：f（x）= 在區間[0，1]上是減函數；
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．