Question

【題目】已知函數．

（1）當， 時，討論函數在區間上零點的個數；

（2）當時，如果函數恰有兩個不同的極值點， ，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）當時，有個零點；當時，有個零點；當時，有個零點；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）研究函數的零點個數，本題直接研究函數的性質，不太方便，可以進行轉化，函數的零點就是方程的解，即的解，而此方程解的個數可以轉化為直線與函數的圖象交點個數，而函數是一個確定的函數，不含參數，因此求出導數后得出它的單調性與最值后可得結論；（2）這類證明題，首先要建立極值點與參數的關系，為此求得，則是的兩根（由有兩個不同的實根，首先可得出），這樣應有， ．兩式相減參數與的關系就出現了： ，要證的題設不等式就變為要證， （兩邊除以可得），即證，

即證，于是只要設， ．即證不等式，當時恒成立．這可由利用導數的知識證明．

試題解析：（1）當， 時，函數在區間上的零點的個數即方程根的個數．

由，

令，

則在上單調遞減，這時；

在上單調遞增，這時．

所以是的極小值即最小值，即

所以函數在區間上零點的個數，討論如下：

當時，有個零點；

當時，有個零點；

當時，有個零點．

（2）由已知， ，

， 是函數的兩個不同極值點（不妨設），

（若時， ，即是上的增函數，與已知矛盾），

且， ．

， ．

兩式相減得： ，

于是要證明，即證明，兩邊同除以，即

證，即證，

即證，

令， ．即證不等式，當時恒成立．

設，

．

設， ，當， ，

單調遞減，所以，即， ，

在時是減函數． 在處取得極小值．

，得證． ．